Question

有以下四個命題：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
②若命題P：?x∈R，sinx≤1，則?P：?x∈R，sinx＜1，
③不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立；
④設有四個函數y=x-1，y=x

1

2

，y=x2，y=x3其中在（0，+∝）上是增函數的函數有3個．
其中真命題的序號

①③④

．

Answer 1

分析：①△ABC中，“A＞B”等價于“a＞b“，等價于“sinA＞sinB”；
②根據命題的否定的定義，可知②為假命題；
③構建函數f（x）=10^x-x²，在（0，+∞）上為增函數，故③為真命題；
④在（0，+∞）上是增函數的函數為y=x

1

2

，y=x2，y=x3，故可得結論．

解答：解：①△ABC中，“A＞B”等價于“a＞b“，等價于“sinA＞sinB”，故①為真命題；
②根據命題的否定的定義，可知：若命題P：?x∈R，sinx≤1，則￢P：?x∈R，sinx＞1，故②為假命題；
③構建函數f（x）=10^x-x²，設g（x）=f′（x）=10^xln10-2x，h（x）=g′（x）=10^xln²10-2，h′（x）=10^xln³10＞0
∴h（x）是增函數，h（x）≥h（0）＞0，由此知g（x）=f′（x）是增函數，可得g（x）=f′（x）＞f′（0）＞0
∴f（x）=10^x-x²在（0，+∞）上為增函數，所以不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立，故③為真命題；
④設有四個函數y=x-1，y=x

1

2

，y=x2，y=x3，其中在（0，+∞）上是增函數的函數為y=x

1

2

，y=x2，y=x3，所以有3個，故④為真命題．
故正確命題為：①③④
故答案為：①③④

點評：本題以命題為載體，考查命題真假的判斷，考查函數的性質，解題時需要一一判斷，綜合性強．