Question

若函數(shù)f（x）=ax³+x+3恰有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意得f′（x）=3ax²+1．討論若a≥0，若a＜0時(shí)的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：由f（x）=ax³+x+3，得f′（x）=3ax²+1．
若a≥0，f′（x）≥0恒成立，
此時(shí)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)只有一個(gè)增區(qū)間，不滿足條件．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-

- 1 3a

＜x＜

- 1 3a

，
由f′（x）＜0，得x＞

- 1 3a

或x＜-

- 1 3a

，
∴滿足f（x）=ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間的a的范圍是（-∞，0）；
故答案為：（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．