Question

已知曲線f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）與直線x=1交于點P，若設曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為x_n，則lgx₁+lgx₂+…+lgx₉的值為（　　）

A．-1

B．1

C．-2

D．2

Answer 1

分析：先求出函數的導數，由導數的幾何意義求切線的斜率k，代入點斜式方程求出過（1，1）的切線方程，在切線方程中令y=0，可得x_n，然后根據對數的運算法則計算即可得到結論．

解答：解：由題意得f′（x）=（n+1）xⁿ，
設過（1，1）的切線斜率k，則k=f′（1）=n+1，
∴切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即x_n=

n

n+1

，
∴lgx₁+lgx₂+…+lgx₉=lg（x₁x₂…x₉）
=lg（

1

2

×

2

3

×…×

9

10

）
=lg

1

10

=-1，
故選A．

點評：本題考查導數的幾何意義及過某一定點的切線方程，對數的運算法則，關鍵是正確求出導數和運用對數的運算法則．