Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-

lnx

x

（x＞0）及h（x）=x²-1+lnx（x＞0）
（I）判斷函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的單調性，并求出h（1）的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間及其在定義域上的最小值；
（III）是否存在實數(shù)m，n，滿足1≤m＜n，使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]？并說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其導函數(shù)，利用導函數(shù)值的正負來判斷出其在（0，+∞）上的單調性，把1直接代入即可求出h（1）的值；
（II）先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，并利用（I）的結論可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，且在1處取最小值；
（III）由（II）的結論知，當滿足1≤m＜n，函數(shù)f（x）在[m，n]也是增函數(shù)，進而得f（m）=m，f（n）=n，轉化為函數(shù)y=f（x）與直線y=x在[1，+∞）上至少有兩個不同的交點，即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有兩個不同的零點，下面只需要研究出g（x）在[1，+∞）上有沒有兩個零點即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）∵h'（x）=2x+

1

x

，又因為x＞0，所以h'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立
即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是單調遞增，（2分）
且h（1）=0（4分）
（Ⅱ）f'（x）=

x2-1+lnx

x2

=

h(x)

x2

（x＞0）
由（Ⅰ）函數(shù)h（x）=x²-1+lnx在（0，+∞）上是單調遞增，且h（1）=0可知：
當0＜x＜1時，h（x）＜0，所以有f'（x）＜0；
當x＞1時，h（x）＞0，所以有f'（x）＞0．（7分）
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．（8分）
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0（9分）
（Ⅲ）不存在（10分）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當滿足1≤m＜n，函數(shù)f（x）在[m，n]也是增函數(shù)．
若函數(shù)f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]，則有f（m）=m，f（n）=n，
也即函數(shù)y=f（x）與直線y=x在[1，+∞）上至少有兩個不同的交點，
也即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有兩個不同的零點，
又g（x）=f（x）-x在區(qū)間[1，e）上是減函數(shù)，且g（1）=f（1）-1=-1，
當x∈[e，+∞）為增函數(shù)，且g（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上沒有零點，
所以不存在實數(shù)m，n，滿足1≤m＜n，使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]．（13分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，是對導數(shù)知識的綜合考查，也是高考常考題型．