Question

函數f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]，表示的曲線過原點，且在x=±1處的切線的斜率均為-1，有以下命題：
①f（x）的解析式是f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]；
②f（x）的極值點有且只有1個；
③f（x）的最大值與最小值之和為0；
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：首先利用導數的幾何意義及函數f（x）過原點，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據奇函數的定義判斷函數f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題①④得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點，進而求得f（x）的單調區間與最值，則命題②③得出判斷．

解答：解：函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1，
則有

3+2a+b=-1 3-2a+b=-1

，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可見f（x）=x³-4x，因此①正確；
②令f′（x）=0，得x=±

2 3

3

．因此②不正確；
所以f（x）在[-

2 3

3

，

2 3

3

]內遞減，
且f（x）的極大值為f（-

2 3

3

）=

16 3

9

，極小值為f（

2 3

3

）=-

16 3

9

，兩端點處f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值為M=

16 3

9

，最小值為m=-

16 3

9

，則M+m=0，因此③正確．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查導數的幾何意義及利用導數研究函數單調性、最值的方法．