Question

已知雙曲線中心在原點，且一個焦點為F(

7

，0)，直線y=x-1與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標為-

2

3

，則此雙曲線的方程是

x2

2

-

y2

5

=1

．

Answer 1

分析：先設出雙曲線的方程，然后與直線方程聯立方程組，經消元得二元一次方程，再根據韋達定理及MN中點的橫坐標可得a、b的一個方程，又雙曲線中有c2=a2+b2，則另得a、b的一個方程，最后解a、b的方程組即得雙曲線方程．

解答：解：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
將y=x-1代入

x2

a2

-

y2

b2

=1，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0．
由韋達定理得x₁+x₂=

2a2

a2-b2

，則

x1+x2

2

=

a2

a2-b2

=-

2

3

．
又c²=a²+b²=7，解得a²=2，b²=5，
所以雙曲線的方程是

x2

2

-

y2

5

=1．
故答案為：

x2

2

-

y2

5

=1．

點評：本題主要考查代數方法解決幾何問題，同時考查雙曲線的標準方程與性質等．