Question

已知定義在R上的奇函數f（x），f（1）=2，對任意的x＞0，f'（x）＞2，則不等式f（x）＞2x的解集為（　　）

A．（-∞，-1）∪（0，1）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：構造函數g（x）=f（x）-2x，利用導數研究其單調性，再利用奇函數的性質即可得出．

解答：解：令g（x）=f（x）-2x，則g′（x）=f′（x）-2，
∵當x＞0時，f′（x）＞2．
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∵g（1）=f（1）-2=0，
∴當x∈（0，+∞）時，g（x）＞0的解集為（1，+∞），即不等式f（x）＞2x的解集為（1，+∞）．
∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴g（x）也是定義在R上的奇函數．
∴當x∈（-∞，0）時，g（x）＞0的解集為（-1，0），即不等式f（x）＞2x的解集為（-1，0）．
綜上可知：不等式f（x）＞2x的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．
故選D．

點評：恰當構造函數，熟練掌握函數的奇偶性、利用導數研究函數的單調性等是解題的關鍵．