Question

（2008•揚州二模）如圖，平面內有三個向量

OA

、

OB

、

OC

，其中與

OA

與

OB

的夾角為120°，

OA

與

OC

的夾角為30°，且|

OA

|=2，|

OB

|=1，|

OC

|=2

3

，若

OC

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），則λ+μ的值為

4

．

Answer 1

分析：如圖所示，過點C作CD∥OB交直線OA與點D．利用

OA

與

OB

的夾角為120°，

OA

與

OC

的夾角為30°，可得∠OCD=90°．
在Rt△OCD中，利用邊角關系可得|

OD

|，|

DC

|．又

OC

=λ

OA

+μ

OB

=

OD

+

DC

，∴

OD

=λ

OA

，

DC

=μ

OB

．求出即可．

解答：解：如圖所示，過點C作CD∥OB交直線OA與點D．
∵

OA

與

OB

的夾角為120°，

OA

與

OC

的夾角為30°，∴∠OCD=90°．
在Rt△OCD中，∴|

CD

|=|

OC

|tan30°=2

3

×

3

3

=2，|

OD

|=2|

CD

|=4．
又

OC

=λ

OA

+μ

OB

=

OD

+

DC

，∴

OD

=λ

OA

，

DC

=μ

OB

．
∴|

OD

|=λ|

OA

|，|

DC

|=μ|

OB

|．
∴4=λ×2，2=μ×1，
解得λ=2=μ．
∴λ+μ=4．
故答案為4．

點評：熟練掌握向量的三角形法則和向量共線定理是解題的關鍵．