Question

設f（x）是定 義在R上的一個給定的函數，函數（x≠0，1）
（1）當f（x）=1時，求g（x）；　
（2）當 f（x）=x時，求g（x）．

Answer 1

解：（1）當f（x）=1時，g（x）=（1-x）ⁿ+（1-x）^n-1•x+…+（1-x）⁰•xⁿ
=[（1-x）+x]ⁿ
=1；
（2）∵f（x）=x時，g（x）的通項中的二項式系數為：•=•=，
∴g（x）=•（1-x）^n-1•x+•（1-x）^n-2•x•x+•（1-x）^n-3•x²•x+…+•（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1•x+…+•（1-x）⁰•x^n-1•x
=x[•（1-x）^n-1+•（1-x）^n-2•x+•（1-x）^n-3•x²+…+•（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1+…+•（1-x）⁰•x^n-1]
=x[（1-x）+x]^n-1
=x．
分析：（1）當f（x）=1時，g（x）=（1-x）ⁿ+（1-x）^n-1•x+…+（1-x）⁰•xⁿ=[（1-x）+x]ⁿ，從而可得答案；
（2）當 f（x）=x時，g（x）的通項中的二項式系數可化為：•=，逆用二項式定理即可得到g（x）的表達式．
點評：本題考察二項式定理的應用，逆用二項式定理是解決問題的關鍵，求得•=是基礎，考察學生觀察問題、分析問題、解決問題的綜合素質，屬于難題．