Question

【題目】數列{an}的各項均為正數，a1=t，k∈N* ， k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6pn ．
（1）當k=1，p=5時，若數列{an}成等比數列，求t的值；
（2）設數列{an}是一個等比數列，求{an}的公比及t（用p、k的代數式表示）；
（3）當k=1，t=1時，設Tn=a1+ + +…+ + ，參照教材上推導等比數列前n項和公式的推導方法，求證：{ Tn﹣ ﹣6n}是一個常數．

Answer 1

【答案】
（1）解：an+an+1=65n，

an+1+an+2=65n+1，

設等比數列（an}的公比是q，

則an+an+1=65n5，

∴q=5，

n=1時，t+5t=30，∴t=5

（2）解：an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，

an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，

數列{an}是一個等比數列，所以求出公比為p，

∴t（pn﹣1+pn+…+pn+k﹣1）=6pn，

項數為n+k﹣1﹣（n﹣1）十1=k+1項，

當p=1時，t（k+1）=6，

∴t= ，

當p≠1，且p＞0時，t =6pn，

∴t=

（3）證明：∵n是任意的正整數，當n=1時， =6P1=6，

依此類推，當n取n﹣1項時， = =6，

∴Tn=a1+ + +…+ + ，

Tn= + + +…+ + =a1+ + +…+ + ，

∴（1+ ）Tn=2a1+ + +…+ + =a1+6n﹣6+ ，

∴ Tn﹣ ﹣6n=a1﹣6=﹣5

【解析】（1）由an+an+1=65n ， an+1+an+2=65n+1 ， 得到等比數列（an}的公比q=5，由此能求出t的值．（2）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn ， an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1 ， 數列{an}是一個等比數列，所以求出公比為p，由此能求出t．（3）由Tn=a1+ + +…+ + ， Tn=a1+ + +…+ + ，由此能夠證明 Tn﹣ ﹣6n=a1﹣6=﹣5．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握通項公式：；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．