Question

已知函數f（x）=x-

2

x

+1-alnx，a＞0
（1）a=1，求曲線在點A（1，f（1））處的切線方程   
 （2）討論f（x）的單調性；
（3）設a=3，求f（x）在區間{1，e²}上值域．期中e=2.71828…是自然對數的底數．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，然后求出在x=1處的導數，得到切線的斜率，最后利用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可；
（2）先令t=

1

x

，則y=2t²-at+1（t≠0），由求導可判斷其單調性，要注意對參數的討論，即不能漏掉，也不能重復．
（3）由（2）所涉及的單調性來求在區間上的值域即可．

解答：解：（1）f′（x）=1+

2

x2

-

1

x

f′（1）=2∴曲線在點A（1，f（1））處的切線方程y=2x-2       （3分）
（2）∵f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

令t=

1

x

，y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2

2

，y≥0恒成立
∴函數f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函數
②①△=a2-8＞0，即：a＞2

2

，y=0有兩個根
由2t²-at+1＞0，t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

0＜x＜

a- a2-8

4

或x＜0或x＞

a+ a2-8

4

由2t²-at+1＜0，

a- a2-8

4

＜t＜

a+ a2-8

4

∴

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

綜上：①0＜a≤2

2

，函數f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函數
②a＞2

2

函數f（x）在（-∞，0），(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)上是增函數，在 (

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)上是減函數，
（3）當a=3時，由（1）知f（x）在（1，2）上是減函數，在[2，e²]上是增函數
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2＜0，f（e²）=e²-

2

e2

-5＞0
∴f（x）在區間{1，e²}上值域是[2-3ln2，e²-

2

e2

-5]

點評：本題主要考查函數的單調性及值域，比較復雜的函數的單調性，一般用導數來研究，將其轉化為函數方程不等式綜合問題解決，研究值域時一定要先確定函數的單調性才能求解．