Question

若給定橢圓C：ax²+by²=1(a>0,b>0,ab)和點N(x₀,y₀)，則稱直線l：ax₀x+by₀y=1為橢圓C的“伴隨直線”，
(1)若N(x₀,y₀)在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系(當直線與橢圓的交點個數為0個、1個、2個時，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交)，并說明理由；
(2)命題：“若點N(x₀,y₀)在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；
(3)若N(x₀,y₀)在橢圓C的內部，過N點任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點(異于A、B)，設，，問是否為定值？說明理由.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析(3) 見解析

(1)
即ax²–2ax₀x+ax₀²=0
∴△=4a²x₀²–4a²x₀²=0
∴l與橢圓C相切.           (0.34)
(2)逆命題：若直線l：ax₀x+by₀y=1與橢圓C相交，則點N(x₀,y₀)在橢圓C的外部.
是真命題。聯立方程得(aby02+a2x02)x2–2ax0x+1–by02=0
則△=4a2x02–4a(by02+ax02)(1–by02)>0
∴ax02–by02+b2y04–ax02+abx02y02>0
∴by02+ax02>1
∴N(x0,y0)在橢圓C的外部.  (0.75)
(3)同理可得此時l與橢圓相離，設M(x1,y1)，A(x,y)
則代入橢圓C：ax2+by2=1，利用M在l上，
即ax0x1+by0y1=1，整理得(ax02+by02–1)12+ax12+by12–1=0
同理得關于2的方程，類似.
即1、2是(ax02+by02–1)2+ax12+by12–1=0的兩根
∴