Question

如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F是AB的中點，G是AD的中點，EC與平面ABCD成30°角，
（1）（理、文）求證EG⊥平面ABCD；
（2）（理、文）當AD的長是多少時，D點到平面EFC的距離為2？請說明理由．
（3）（理答文不答）若AD=2，求二面角E-FC-G的度數．

Answer 1

分析：（1）利用△ADE是等邊三角形，得EG⊥AD，再根據面面垂直的性質證明線面垂直；
（2）設AD=a，根據EC與平面ABCD成30°角，求出CD，EF，CF，再利用三棱錐的換底性，即∵V_E-FCD=V_D-EFC ，根據體積公式列出等式求a；
（3）由AD=2，根據EC與平面ABCD成30°角，求出CD，FG，FC，GC，利用定義證明二面角的平面角，在三角形中求解．

解答：解：（1）證明：∵△ADE是等邊三角形，∴EG⊥AD，
又平面ADE⊥平面ABCD，且交于AD，EG?平面ADE，
∴EG⊥平面ABCD．
（2）連DF，D點到平面EFC的距離即為三棱錐D-EFC的高，
∵V_E-FCD=V_D-EFC
∴

1

3

S△DFC•EG=

1

3

S△EFC×2，
設AD=a，EG=

3

2

a，連接CG，
由（1）知CG為EC在平面ABCD中的射影，∴∠ECG=30°，
在Rt△EGC中CG=EG×cot30°=

3

2

a，
DG²+CD²=CG²⇒CD=

2

a，EF=FC=

6

2

a，EC=

3

a，
∵EF²+FC²=EC²，∴EF⊥FC，
則

1

3

×

1

2

a×

2

a×

3 a

2

=

1

3

×

1

2

×

6

2

a×

6

2

a×2
∴a=

6

，即AD=

6

時，點D到平面EFC的距離為2．
（3）由（2）知∠ECG是EC與平面ABCD所成的角，
即∠ECG=30°，∵AD=2，∴EG=

3

，
在Rt△ECG中，∴GC=3，∴CD=2

2

則AF=BF=

2

，GF=

3

，FC=

6

∴GF²+FC²=GC²，即GF⊥FC
∵GF是EF在平面AC上的射影，EF⊥FC
∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角，
在Rt△EGF，EG=GF=

3

，
∴∠EFG=45°，故所求二面角E-FC-G的度數是45⁰

點評：本題考查了線面垂直的判定，點到平面的距離問題，考查了三垂線定理及其應用，考查了二面角的定義及求法，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力，綜合性強．