Question

設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：(i)f(－1)＝f(1)＝0；(ii)對任意的u、v∈[－1，1]，都有｜f(u)－f(v)｜≤｜u－v｜ (1) 證明：對任意的x∈[－1，1]，都有： x－1≤f(x)≤1－x (2) 判斷函數(shù)g(x)＝，是否滿足題設(shè)條件 (3) 在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對任意的u、v∈[－1，1]，都有｜f(u)－f(v)｜＝｜u－v｜?若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：(1)當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，有｜f(x)｜＝｜f(x)－f(x)｜≤｜x－1｜＝1－x，因此x－1≤f(x)≤1－x．
(2)	函數(shù)g(x)滿足題設(shè)條件．驗(yàn)證如下： 　　g(－1)＝0＝g(1)；對任意u、v∈［0，1］時(shí)，｜g(u)－g(v)｜＝｜(1－u)，(1－v)｜＝｜u－v｜；當(dāng)u、v∈［－1，0］，同理｜g(u)－g(v)｜＝｜u－v｜；當(dāng)u·v＜0，不妨設(shè)u∈［－1，0］，u∈［0，1］，｜g(u)－g(v)｜＝｜(1－u)，(1－v)｜≤｜v－u｜．
(3)	假設(shè)存在f(x)滿足條件，則由f(－1)＝f(1)＝0 ①．又由于對任意u、v∈[－1，1]都有｜f(u)－f(v)｜＝｜u－v｜，所以｜f(1)－f(－1)｜＝｜1－(－1)｜＝2②．①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在． 　　點(diǎn)評：本題是典型的存在性問題，對此一般都是從假設(shè)符合條件的“對象”存在開始探究．