Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=6，BC=BB1=

2

，點P是線段BC₁上的一動點，則AP+PB₁的最小值是（　　）

• A、2+

  2

• B、不等的實數根．結合圖形可知：k∈(0，

  4

  27

  )
• C、4

  2

• D、5

  2

Answer 1

分析：如圖，將△BB₁C₁沿BC₁為軸旋轉至與平面ABC₁共面，得△BB₁C₁，可得出∠ABB₁=135°，由余弦定理求出此時的AB₁的長度，再比較四個選項，選出正確答案

解答：解：如圖，將△BB₁C₁沿BC₁為軸旋轉至與平面ABC₁共面，
得△BB₁C₁，
則∠ABB₁=135°，故 AP+PB₁=AP+PB₁≥AB1=

62+( 2 )2-2×6× 2 cos135°

=5

2

．
等號當且僅當P為AB₂與BC₁的交點時取得．
故選D．

點評：本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，求解本題的關鍵是借助圖形的翻折，將求折線長度的問題轉化為平面上線段長度的問題求解，熟練掌握棱柱的幾何特征及余弦定理也求解這個題的知識上的保證．本題易因為沒有想起轉化方向而導致解題失敗