Question

已知ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB, △OAC, △ODE, △ODF都是正三角形.
（Ⅰ）證明直線BC∥EF;
（Ⅱ）求棱錐F-OBED的體積.

Answer 1

解：（Ⅰ）（方法一）證明：設(shè)G是線段DA與線段EB延長線的交點，
由于△OAB與△ODE都是正三角形，
所以O(shè)B∥,OB=,OG=OD=2
設(shè)G'是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG'=OD=2，
又由于G和G'都在線段DA的延長線上，所以G與G重合。
在△GED和△GFD中，由OB∥,OB=和OC∥, OC=,
可知B,C分別是GE和GF的中點，
所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF
（方法二）過點F作FQ⊥AD,交AD于點Q，連QE，
由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED,
以Q為坐標原點，為x軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立空間直角坐標系。
由條件知E(，0,0)，F(xiàn)（0,0，），
B（，-，0），C（0，-，）。
則有，，。
即得BC∥EF.
（Ⅱ）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知SEOB=,
而△OED是邊長為2的正三角形，
故S_OED=,所以S_OBED=S_EOB+S_OED=。
過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q，
由平面ABED⊥平面ACFD知，
FQ就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=，
所以V_F-OBED=FQS_OBED=