Question

設函數f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期為π，并且當x=

π

12

時，有最大值f（

π

12

）=4．
（1）求a、b、ω的值；
（2）若角α、β的終邊不共線，f（α）=f（β）=0，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=asinωx+bcosωx可以變為f（x）=

a2+b2

sin（ωx+∅），最小正周期為π求得ω=2，再由最大值f（

π

12

）=4得到

a2+b2 =4 a 2 + 3 2 b=4

從中解出a，b的值．
（2）由已知f（α）=f（β）=0得4sin（2α+

π

3

）=4sin（2β+

π

3

）=0即得sin（2α+

π

3

）-sin（2β+

π

3

）=0，從中解出α+β的三角函數值．

解答：解：（1）由

2 π

ω

=π，ω＞0得ω=2．
∴f（x）=asin2x+bcos2x．
由x=

π

12

時，f（x）的最大值為4，
得

a2+b2 =4 a 2 + 3 2 b=4

?

a=2 b=2 3 .

（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+

π

3

）．
依題意有4sin（2α+

π

3

）=4sin（2β+

π

3

）=0．
∴sin（2α+

π

3

）-sin（2β+

π

3

）=0．
∴cos（α+β+

π

3

）sin（α-β）=0（和差化積公式見課本）．
∵α、β的終邊不共線，即α-β≠kπ（k∈Z），
故sin（α-β）≠0．
∴α+β=kπ+

π

6

（k∈Z）．
∴tan（α+β）=

3

3

．

點評：本題考點由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，此是近幾年高考中對三角函數的圖象與性質考查的一種較熱的題型，注意把握其解題規律，在題（2）中由三角函數的恒等變換求出α+β的三角函數值，三角恒等變換公式較多，解法不唯一，做題時要注意選擇合適的公式組合．