Question

若正實數a，b滿足ln（a+b）=0，則

1

a

+

2

b

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據對數的運算，由ln（a+b）=0求出a+b=1，利用“1”的代換的思想，將

1

a

+

2

b

轉化為（

1

a

+

2

b

）（a+b），展開后利用基本不等式，即可求得答案．

解答：解：∵ln（a+b）=0，
∴ln（a+b）=ln1，
∴a+b=1，
又∵a，b為正實數，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=

b

a

+

2a

b

+3≥2

b a • 2a b

+3=2

2

+3，
當且僅當

b

a

=

2a

b

，即a=

2

-1，b=2-

2

時取等號，
∴

1

a

+

2

b

的最小值為2

2

+3．
故答案為：2

2

+3．

點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應用．運用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．本題運用了“1”的代換的思想，解題的關鍵是將常數1代換為a+b，構造出乘積為最值的求和形式．屬于中檔題．