Question

已知數列是首項為，公比的等比數列.設，，數列滿足；

（Ⅰ）求證：數列成等差數列；

（Ⅱ）求數列的前項和；

（Ⅲ）若對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或 .

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 本小題首先數列是首項為，公比的等比數列求得數列的通項公式，再代入即可求得數列的通項公式，然后根據等差數列的定義來判斷其為等差數列；

(Ⅱ) 本小題首先求得數列的通項公式，分析可知對其求和需用錯位相減求和的方法，于是求得該數列的前項和；

（Ⅲ）本小題首先分析對一切正整數恒成立，等價于，于是就分析數列的單調性，求得其的最大項，代入解不等式即可.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得，，

為等差數列，其中.                        5分

（Ⅱ）

       ①          

  ②

-②得

                                9分

（Ⅲ）

當時，，當時，

，

若對一切正整數恒成立，則即可

，即或.                    14分

考點：1.等差等比數列；2.錯位相減求和；3.恒成立問題.