Question

如圖，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F、F，A是橢圓C上的一點，AF⊥FF，O是坐標原點，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命題“設圓x+y=t上任意點M（x，y）處的切線交橢圓C于Q、Q兩點，那么OQ⊥OQ”成立.

Answer 1

（1）橢圓C的離心率為. （2）t=b∈（0，b）使得所述命題成

解析試題分析：解：（Ⅰ）解法一：由題設AF⊥FF及F（－c，0），F（c，0），不妨設點A（c，y），其中y>0，由于點A在橢圓上，有+=1，
+=1，解得y=，從而得到A.              1分
直線AF的方程為y=（x+c），整理得bx－2acy+bc=0.     2分
由題設，原點O到直線AF的距離為|OF|，即=，   3分
將c=a－b代入原式并化簡得a=2b，即a=b.
∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分
解法二：點A的坐標為.                               1分
過點O作OB⊥AF，垂足為B，易知△FBC∽△FFA，
故=.                                           2分
由橢圓定義得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，
所以=.                                   3分
解得|FA|=，而|FA|=，得=.                    
∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分
（Ⅱ）圓x+y=t上的任意點M（x，y）處的切線方程為xx+yy=t. 5分
當t∈（0，b）時，圓x+y=t