Question

某單位實行休年假制度三年以來，50名職工休年假的次數進行的調查統計結果如下表所示：

休假次數	0	1	2	3
人數	5	10	20	15

根據上表信息解答以下問題：
（I）從該單位任選兩名職工，記事件A為該兩人休年假次數之和為4或5，求事件A發生的概率P；
（ II）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由兩人休年假次數之和為4包含兩種情況：兩人都休假兩次和1人休假1次另1人休假3次；兩人休年假次數之和為5是指1人休假2次另1人休假3次，利用排列組合知識和互斥事件有一個發生的概率公式求解即可．
（2）由題意利用ξ表示這兩人休年假次數之差的絕對值，利用隨機變量的定義及隨機變量分布列的定義列出隨機變量ξ的分布列，在利用隨機變量期望的定義求出其期望．

解答：解：（1）兩人休年假次數之和為4包含兩種情況：
兩人都休假兩次和1人休假1次另1人休假3次，
其概率P₁=

C 2 20 + C 1 10 • C 1 15

C 2 50

=

68

245

；
兩人休年假次數之和為5是指1人休假2次另1人休假3次，其概率P₂=

C 1 20 C 1 15

C 2 50

=

12

49

，
又∵兩人休年假次數之和為4與兩人休年假次數之和為5為互斥事件，
由互斥事件有一個發生的概率公式，
所以P=P₁+P₂=

68

245

+

12

49

=

128

245

．
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數之差的絕對值，則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，
于是P（ξ=0）=

C 2 5 + C 2 10 + C 2 20 + C 2 15

C 2 50

=

2

7

，
P（ξ=1）=

c 1 5 c 1 10 + c 1 10 c 1 20 +c 1 15 c 1 20

c 2 50

=

22

49

，
P（ξ=2）=

c 1 5 c 1 20 + c 1 10 c 1 15

c 2 50

=

10

49

，
P（ξ=3）=

c 1 5 c 1 15

c 2 50

=

3

49

，
從而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ的數學期望：Eξ=0×

2

7

+1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期的求法，是歷年高考的必考題型，解題時要注意互斥事件一個發生的概率公式的靈活運用．