Question

（本題滿分16分）
已知．
（1）求函數的圖像在處的切線方程；
（2）設實數，求函數在上的最大值.
（3）證明對一切，都有成立．

Answer 1

（1），即
（2）當時，
當時，，
（3）見解析

解：
（1）定義域為      
            又
函數的在處的切線方程為：
，即       ……  4分
（2）令得
當，，單調遞減，
當，，單調遞增． ……6分
在上的最大值

當時，
當時，， ……10分
(3)問題等價于證明，  ……12分
由(2)可知的最小值是，當且僅當時取得.
設，則，易得，
當且僅當時取到，從而對一切，都有成立． ……16分
思路分析：第一問利用定義域為       
又   函數的在處的切線方程為：
，即
第二問中，令得
當，，單調遞減，
當，，單調遞增
第三問中，問題等價于證明，  ……12分
由(2)可知的最小值是，當且僅當時取得.
設，則，易得