Question

設函數f（θ）=

3

sinθ+cosθ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若點P的坐標為(

1

2

，

3

2

)，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若點P（x，y）為平面區域Ω：

x+y≥1 x≤1 y≤1

上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數f（θ）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f（θ）=

3

sinθ+cosθ，我們將點P的坐標(

1

2

，

3

2

)代入函數解析式，即可求出結果．
（II）畫出滿足約束條件

x+y≥1 x≤1 y≤1

的平面區域，數形結合易判斷出θ角的取值范圍，結合正弦型函數的性質我們即可求出函數f（θ）的最小值和最大值．

解答：解（I）由點P的坐標和三角函數的定義可得：

sinθ= 3 2 cosθ= 1 2

于是f（θ）=

3

sinθ+cosθ=

3

×

3

2

+

1

2

=2

（II）作出平面區域Ω（即感觸區域ABC）如圖所示
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）
于是0≤θ≤

π

2

∴f（θ）=

3

sinθ+cosθ=2sin(θ+

π

6

)
且

π

6

≤θ+

π

6

≤

2π

3

故當θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

時，f（θ）取得最大值2
當θ+

π

6

=

π

6

，即θ=0時，f（θ）取得最小值1

點評：本題主要考查三角函數、不等式等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．