Question

（本小題滿分14分）

如圖，在三棱柱中，側面底面ABC，，，且為AC中點.

   （I）證明：平面ABC；

   （II）求直線與平面所成角的正弦值；

   （III）在上是否存在一點E，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I）證明：因為A₁A=A₁C，且O為AC的中點，

所以          …………1分

又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交線為AC，

且平面AA₁C₁C，

所以平面ABC.     …………4分

   （II）如圖，以O為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z建立空間直角坐標系.

由題意可知，

又AB=BC，

所以得：

則有：

        …………6分

設平面AA₁B的一個法向量為，則有

令y=1，得

所以     …………7分

     …………9分

因為直線A₁C與平面A₁AB所成角和向量n與所成銳角互余，

所以            …………10分

   （III）設，        …………11分

即

所以   …………12分

令OE//平面A₁AB，得       …………13分

即

即存在這樣的點E，E為BC₁的中點.                           …………14分

【解析】略