Question

已知橢圓的兩個焦點F₁（0，1）、F₂（0，1）、直線y=4是它的一條準線，A₁、A₂分別是橢圓的上、下兩個頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設以原點為頂點，A₁點的拋物線為C，若過點F1的直線l與C交于不同的兩點M、N，求線段MN的中點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓方程為，由題意，得，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設拋物線C的方程為x²=2py，p＞0．由，得p=4．故拋物線C的方程為x²=8y，設線段MN的中點Q（x，y），直線l的方程為y=kx+1，由，得x²-8kx-8=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．故，代入直線l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，由此能求出點Q的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為，
由題意，得，
∴a²=4，b²=4-1=3，
∴所求橢圓方程； …（5分）
（Ⅱ）設拋物線C的方程為x²=2py，p＞0．
由，得p=4．
∴拋物線C的方程為x²=8y，
設線段MN的中點Q（x，y），直線l的方程為y=kx+1，
由，得x²=8kx+8，
即x²-8kx-8=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．
∴，
代入直線l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，
由，消去k，得，
即x²=4（y-1），
∴點Q的軌跡方程是x²=4（y-1）．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．