Question

（2011•溫州二模）已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點，若橢圓上存在點P，使得直線PF與圓x²+y²=b²相切，當直線PF的傾斜角為

2π

3

，則此橢圓的離心率是（　�。�

• A．

  2 7

  7

• B．

  2 5

  5

• C．

  2

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：求出橢圓的左焦點，進而可設直線方程，利用直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，可得一方程，利用橢圓的簡單性質a²=b²+c²，根據離心率公式即可求出e的值．

解答：解：設橢圓的左焦點為（-c，0），c=

a2-b2

，
∵直線PF的傾斜角為

2π

3

，
則直線PF的方程為

3

x+y+

3

c=0，
∵直線PF為圓O：x²+y²=b²的一條切線
∴

| 3 c|

2

=b，即b=

3

2

c，
∴a2=b2+c2=

7

4

c2
∴e=

c

a

=

2 7

7

．
故選A．

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的離心率，考查圓的切線問題，有一定的綜合性．