Question

從2003年開始，我國就通過實行高校自主招生探索人才選拔制度改革，允許部分高校拿出一定比例的招生名額，選拔哪些有特殊才能的學生．某學生參加一個高校的自主招生考試，考試分筆試和面試兩個環節，筆試有A，B兩個題目，該學生答對A，B兩題的概率分別為

1

2

，

1

3

，兩題全部答對方可進入面試．面試要回答甲、乙兩個問題，該學生答對兩個問題的概率均為

1

2

，至少答對一題即可被錄取．（假設每個環節的每個問題回答正確與否是相對獨立的）．
（I）求該學生被學校錄取的概率；?
（II）設該學生答對題目的個數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．?

Answer 1

分析：（I）由題意記”答對A，B，甲，乙各題分別為事件A，B，C，D，由于事件之間為獨立事件，故該學生被公司聘用的概率為：P（A•B）[1-P（

.

C

）P（

.

D

）]，利用獨立事件的公式即可算得；
（II）由題意由于隨機變量ξ表示該學生答對題目的個數，由題意可得ξ的可能結果為：0，1，2，3，4，利用隨機變量的定義及獨立事件的概率公式借助于隨機變量的定義求出每一個隨機變量取值下對應的概率．在列出隨機變量的分布列，并利用分布列求出其期望．

解答：解：（I）由題意記”答對A，B，甲，乙各題分別為事件A，B，C，D，
則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=P（D）=

1

2

，
由題意及事件之間為獨立事件，故該學生被公司聘用的概率為：P（A•B）[1-P（

.

C

）P（

.

D

）]=

1

2

×

1

3

×（1-

1

2

×

1

2

）=

1

8

；
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=P（

.

A

.

B

）=

1

2

×

2

3

=

1

3

，
P（ξ=1）=P（

.

A

.

B

B+A

.

B

）=

1

2

×

1

3

+

1

2

×

2

3

=

1

2

，
P（ξ=2）=P（AB）P（

.

C

.

D

）=

1

2

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

24

，
P（ξ=3）=P（AB）P（C

.

D

+

.

C

D）=

1

2

×

1

3

×2×(

1

2

)2=

1

12

，
P（ξ=4）=P（AB）P（CD）=

1

2

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

24

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 3	1 2	1 24	1 12	1 24

∴Eξ=0×

1

3

+1×

1

2

+2×

1

24

+3×

1

12

+4×

1

24

=1

點評：本題考查概率知識，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是正確求概率，確定變量的取值．