Question

【題目】已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的左焦點為F（﹣c，0），右頂點為A，點E的坐標為（0，c），△EFA的面積為 ．（14分）
（I）求橢圓的離心率；
（II）設點Q在線段AE上，|FQ|= c，延長線段FQ與橢圓交于點P，點M，N在x軸上，PM∥QN，且直線PM與直線QN間的距離為c，四邊形PQNM的面積為3c．
（i）求直線FP的斜率；
（ii）求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓的離心率為e．由已知，可得 ．又由b2=a2﹣c2 ， 可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因為0＜e＜1，解得 ．
所以，橢圓的離心率為 ；
（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設直線FP的方程為x=my﹣c（m＞0），則直線FP的斜率為 ．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直線AE的方程為 ，即x+2y﹣2c=0，與直線FP的方程聯立，可解得 ，即點Q的坐標為 ．
由已知|FQ|= ，有 ，整理得3m2﹣4m=0，所以 ，即直線FP的斜率為 ．
（ii）解：由a=2c，可得 ，故橢圓方程可以表示為 ．
由（i）得直線FP的方程為3x﹣4y+3c=0，與橢圓方程聯立 消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或x=c．因此可得點 ，進而可得 ，所以 ．由已知，線段PQ的長即為PM與QN這兩條平行直線間的距離，故直線PM和QN都垂直于直線FP．
因為QN⊥FP，所以 ，所以÷FQN的面積為 ，同理÷FPM的面積等于 ，由四邊形PQNM的面積為3c，得 ，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，橢圓的方程為 ．
【解析】（Ⅰ）設橢圓的離心率為e．通過 ．轉化求解橢圓的離心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設直線FP的方程為x=my﹣c（m＞0），則直線FP的斜率為 ．通過a=2c，可得直線AE的方程為 ，求解點Q的坐標為 ．利用|FQ|= ，求出m，然后求解直線FP的斜率．
（ii）求出橢圓方程的表達式你，求出直線FP的方程為3x﹣4y+3c=0，與橢圓方程聯立通過 ，結合直線PM和QN都垂直于直線FP．結合四邊形PQNM的面積為3c，求解c，然后求橢圓的方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解一般式方程(直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）)，還要掌握橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)的相關知識才是答題的關鍵．