Question

已知A，B，C，D為同一球面上的四點，且連接每兩點的線段長都等于2，則球心到平面BCD的距離等于

6

6

．

Answer 1

分析：設O為四面體ABCD外接球的球心，過A作AH⊥BCD于H，則O在AH上，延長BH交BC于E，連接OB、AE．可算出四面體的高AH=

2 6

3

，根據Rt△BOH∽Rt△AEH，得OH=

1

3

BO=

1

3

AO，所以OH=

1

4

AH=

6

6

，即球心到平面BCD的距離等于

6

6

．

解答：解：設O為四面體ABCD外接球的球心，過A作AH⊥BCD于H，則O在AH上
延長BH交BC于E，連接OB、AE
∵等邊三角形BCD中，H為中心
∴BE⊥CD且E為CD的中點，可得BE=AH=

3

2

AB=

3

∴BH=

2

3

BE=

2 3

3

，得Rt△ABH中，AH=

AB2-BH2

=

2 6

3

又∵Rt△BOH∽Rt△AEH
∴

OH

BO

=

EH

AE

，結合EH=

1

3

BE=

1

3

AE得OH=

1

3

BO
∵AO=BO=R，（R是外接球半徑）
∴OH=

1

4

AH=

6

6

，即球心到平面BCD的距離等于

6

6

故答案為：

6

6

點評：本題給出正四面體的棱長，求它的外接球心到底面的距離，著重考查了正四面體的性質和多面體的外接球等知識點，屬于基礎題．