Question

已知f（x）是定義在R上的恒不為零的函數，且對于任意的x，y∈R都滿足f（x）•f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值，并證明對任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）設當x＜0時，都有f（x）＞f（0），證明：f（x）在（-∞，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f（0），再有x=

x

2

+

x

2

，即可證得對任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，利用定義法作差，整理后即可證得差的符號，進而由定義得出函數的單調性．

解答：解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0）?
∵f（0）≠0?
∴f（0）=1
又對于任意x∈R， f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=[f(

x

2

)]2≥0又f(

x

2

)≠0，∴f（x）＞0
（2）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0?
∴f（x₁-x₂）＞f（0）=1?
∴f（x₁-x₂）-1＞0
對f（x₂）＞0?
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在R上是減函數

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數單調性的能力．