Question

已知橢圓＝1(其中a＞b＞0)與直線x＋y＝1交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，其中O為坐標原點．

(1)求的值；

(2)若橢圓的離心率e滿足≤e≤，求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0， 　　∵y1＝1－x1，y2＝1－x2，代入x1x2＋y1y2＝0得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0　　① 　　又將y＝1－x代入＝1得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，x1＋x2＝，x1x2＝， 　　代入①式并化簡得＝2． 　　(2)由e2＝＝1－及已知得≤1－≤， 　　≤≤． 　　又由(1)知b2＝，所以≤≤，≤a2≤，≤a≤，其長軸2a∈［］． 　　思路解析：本題涉及直線與橢圓的交點，對于此類問題往往聯立它們的方程消去其中的一個未知數，再利用根與系數間的關系，從而得到相應的兩個交點的坐標間的關系，再結合題目中的其他條件將問題解決．