Question

已知函數f（x）=2x+

a

x

的定義域為（0，1]（a為實數）．
（1）求證：當a=1時，函數y=f（x）在區間[

2

2

，1]上單調遞增；
（2）當a＞0時，函數y=f（x）在x∈（0，1]上是否有最大值和最小值，如果有，求出函數的最值以及相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數的解析式，利用定義法，可證明出函數y=f（x）在區間[

2

2

，1]上單調遞增；
（2）當a＞0時，利用導數法，可以得到函數y=f（x）的單調性，進而分析1與極值點的關系，可得答案．

解答：證明：（1）當a=1時，f（x）=2x+

1

x

．
取x₁，x₂∈[

2

2

，1]，且x₁＜x₂，則
x₁-x₂＜0，

1

2

＜x₁•x₂＜1
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

2x1•x2-1

x1•x2

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函數y=f（x）在區間[

2

2

，1]上單調遞增
解：（2）當a＞0時，∵f（x）=2x+

a

x

∴f′（x）=2-

a

x2

令f′（x）=0，則x=

2 a

2

∵x∈（0，

2 a

2

]時，f′（x）≤0；x∈[

2 a

2

，+∞）時，f′（x）≥0；
∴函數y=f（x）在區間（0，

2 a

2

]上單調遞減，在區間[

2 a

2

，+∞）上單調遞增．
所以函數沒有最大值．
當

2 a

2

≥1時，a≥2，f（x）_min=f（1）=2+a
當

2 a

2

＜1時，0＜a＜2，f（x）_min=f（

2 a

2

）=2

2

a

點評：本題考查的知識點是函數最值的應用，函數單調性判斷與證明，定義法和導數法是最常見的判斷函數單調性的方法，一定要熟練掌握．