Question

將編號為1，2，3，4，5的五個同質量的小球，隨機地放入編號為1，2，3，4，5的五個小盒中，每盒僅放一個小球，若第i（i=1，2，3，4，5）號小球恰好放入第i號小盒，則稱其為一個匹對，用ξ表示匹對的個數．
（1）求第3號小球恰好放入第3號小盒的概率．
（2）求1號小球不落入1號小盒且5號小球也不落入5號小盒的概率．
（3）求匹對的個數ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題意設第3號小球恰好放入第3號小盒記為時間A，有古典概型隨機事件的概率公式可得；
（2）由題意記1號小球不落入1號小盒且5號小球不落入5號小盒的事件記為B，利用古典概型隨機事件的概率公式即可求得；
（3）由于ξ表示匹對的個數，由題意則ξ可能取：0，1，2，3，5，并利用古典概型隨機事件的概率公式及排列數與組合數，求出其分布列及期望．

解答：解：（1）第3號小球恰好放入第3號小盒記為時間A，則
P（A）=

A 4 4

A 5 5

=

1

5

，
（2）1號小球不落入1號小盒且5號小球不落入5號小盒的事件記為B，
則P（B）=

A 5 5 -2 A 4 4 + A 3 3

A 5 5

=

13

20

，
（3）由題意ξ可能取：0，1，2，3，5，則
P(ξ=1)=

C 1 5 ×9

A 5 5

=

3

8

，P(ξ=2)=

C 2 5 ×2

A 5 5

=

1

6

，P(ξ=3)=

C 3 5

A 5 5

=

1

12

，P(ξ=5)=

1

A 5 5

=

1

120

，P(ξ=0)=1-

3

8

-

1

6

-

1

12

-

1

120

=

11

30

  
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	5
P	11 30	3 8	1 6	1 12	1 120

Eξ=0×

11

30

+1×

3

8

+2×

1

6

+3×

1

12

+5×

1

120

=1．

點評：此題考查了等可能事件的概率公式，離散型隨機變量的定義及其分布列，并且利用分布列求出期望，還考查了考慮問題時的嚴謹的邏輯思維及計算能力．