Question

如圖，在平行四邊形中，，，將沿折起到的位置.
（1）求證：平面；
（2）當取何值時，三棱錐的體積取最大值？并求此時三棱錐的側面積.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）時，三棱錐體積取最大值，此時側面積.

試題分析：本題主要考查余弦定理、勾股定理、線面垂直、三角形面積公式、三棱錐的側面積和體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力.第一問，在中，利用余弦定理得到BD的長，從而判斷出，利用平行線，得，，利用線面垂直的判定得平面；
第二問，結合第一問的證明知，當時，三棱錐的體積最大，此時平面，所以和為直角三角形，由線面垂直的判定可證出平面，所以，所以為直角三角形，所以三棱錐的側面積為3個直角三角形之和.
試題解析：（I）在中，

∵ ∴，
又，、平面
∴平面
（2）設E點到平面ABCD距離為，則.
由（I）知
當時，
∵，、平面
∴平面
∴當時，，三棱錐的體積取最大值.
此時平面，∴、
在中，

在Rt△ADE中，
∵，，，、平面
∴平面 ∴

綜上，時，三棱錐體積取最大值，此時側面積.