Question

已知f（x）=log_ax（0＜a＜1），{a_n}，若數列{a_n}使得2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差數列．
（1）求{a_n}的通項a_n；
（2）設b_n=a_n•f（a_n），若{b_n}的前n項和是S_n，且

2a4

1-a2

＜1，求證：Sn+

2na2n+4

1-a2

＜3．

Answer 1

分析：（1）、根據題中已知條件先求出等差數列的公差d=2，將d=2 代入f（a_n）中即可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）、根據（1）中求得的數列{a_n}的通項公式先求出b_n的通項公式，進而求出S_n的表達式，結合不等式的性質即可證明S_n+

2na2n+4

1-a2

＜3．

解答：解：設2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4的公差為d，
則2n+4=2+（n+2-1）d，
∴d=2，（2分）
∴f（a_n）=2+（n+1-1）d=2+nd=2n+2，∴log_aa_n=2n+2，
∴a_n=a²ⁿ⁺²．（4分）

（2）∵b_n=a_n•f（a_n）=a²ⁿ⁺²•log_aa²ⁿ⁺²=（2n+2）a²ⁿ⁺²，
∴S_n=4a⁴+6a⁶+…+2n•a²ⁿ+（2n+2）a²ⁿ⁺²
∴a²S_n=4a⁶+6a⁸+…+（2n-2）•a²ⁿ+2n•a²ⁿ⁺²+（2n+2）a²ⁿ⁺⁴
（1-a²）S_n=4a⁴+2[a⁶+…+a²ⁿ⁺²]-（2n+2）a²ⁿ⁺⁴，
∵a≠1，
∴Sn=

2a4(1-a2n)

(1-a2)2

+

2a4-(2n+2)a2n+4

1-a2

=

2a4

1-a2

[

1-a2n

1-a2

+1-(n+1)a2n]，（8分）
∵

2a4

1-a2

＜1，又0＜a＜1⇒2a4+a2-1=(2a2-1)(a2+1)＜0，
故2a2-1＜0，解得，0＜a＜

2

2

(10分)
∵

2a4

1-a2

＜1，又a2n＞0，
∴Sn+

2na2n+4

1-a2

=

2a4

1-a2

(

1-a2n

1-a2

+1-a2n)(11分)
＜

1-a2n

1+a2

+1-a2n(12分)
＜

1

1-a2

+1(13分)

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的基本性質以及數列與不等式的綜合，考查了學生的計算能力和對數列與不等式的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．