Question

根據以往的成績記錄，甲、乙兩名隊員射擊擊中目標靶的環數的頻率分布情況如圖所示．
假設每名隊員每次射擊相互獨立．
（Ⅰ）求上圖中a的值；
（Ⅱ）隊員甲進行三次射擊，求擊中目標靶的環數不低于8環的次數X的分布列及數學期望（頻率當作概率使用）；
（Ⅲ）由上圖判斷，在甲、乙兩名隊員中，哪一名隊員的射擊成績更穩定？（結論不需證明）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據所有頻率和為1建立等式，可求出a的值；
（Ⅱ）先求隊員甲進行三次射擊，擊中目標靶的環數不低于8環的概率，隨機變量X的取值為：0，1，2，3，然后分別求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可；
（Ⅲ）在甲、乙兩名隊員中，通過頻率分布情況看隊員的射擊成績哪個相對集中，那就更穩定．

解答：解：（Ⅰ）由上圖可得0.01+a+0.19+0.29+0.45=1，
∴a=0.06；
（Ⅱ）由圖可得隊員甲擊中目標靶的環數不低于8環的概率為0.45+0.29+0.01=0.75，
由題意可知隨機變量X的取值為：0，1，2，3，
事件“X=k”的含義是在3次射擊中，恰有k次擊中目標靶的環數不低于8環，
P(X=k)=

C

k 3

(

3

4

)k(1-

3

4

)3-k(k=0，1，2，3)，
即X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

所以X的期望是E(X)=0×

1

64

+1×

9

64

+2×

27

64

+3×

27

64

=

9

4

；
（Ⅲ）甲隊員的射擊成績更穩定．

點評：本題主要考查了頻率分布情況，以及分布列及數學期望，同時考查了n次獨立重復試驗的概率，考查運算求解的能力，屬于中檔題．