Question

（2013•臨沂二模）已知點（1，2）是函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點，數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）將數列{a_n}前2013項中的第3項，第6項，…，第3k項刪去，求數列{a_n}前2013項中剩余項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點（1，2）代入函數f（x）=a^x，可求得得a=2，從而可得S_n=2ⁿ-1，于是可求得a₁，當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1可求得a_n，驗證后，能合則合，不合則分，即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知數列{a_n}為等比數列，利用等比數列的求和公式求得數列{a_n}前2013項和，再減去第3項，第6項，…，第2013項的和即可．

解答：解：（Ⅰ）把點（1，2）代入函數f（x）=a^x，得a=2．…（1分）
∴S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，…（2分）
當n=1時，a₁=S₁=2¹-1=1；…（3分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1…（5分）
經驗證可知n=1時，也適合上式，
∴a_n=2^n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數列{a_n}為等比數列，公比為2，故其第3項，第6項，…，第2013項也為等比數列，首項a₃=2^3-1=4，公比q=2³，a₂₀₁₃=2²⁰¹²為其第671項…（8分）
∴此數列的和為

4(1-8671)

1-8

=

4(22013-1)

7

…（10分）
又數列{a_n}的前2013項和為S₂₀₁₃=

1×(1-22013)

1-2

=2²⁰¹³-1，…（12分）
∴所求剩余項的和為（2²⁰¹³-1）-

4(22013-1)

7

=

3(22013-1)

7

…（13分）

點評：本題考查利用數列的遞推關系求其通項，考查等比數列的求和，考查先總后分的解決方法，考查轉化思想與解決問題的能力，屬于中檔題．