Question

已知函數f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

，
（I）求函數f（x）的最小正周期；
（II）試用“五點法”做出函數f（x）在[

π

12

，

13π

12

]內的簡圖，并指出該函數可由函數y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的先平移后伸縮變換得到．

Answer 1

分析：（I）由倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式，再求出函數的周期；
（II）利用五點法，將2x-

π

6

看成整體取正弦函數的五個關鍵點，通過列表、描點、連線畫出函數圖象，用圖象變換的方法得此函數圖象，可以先向左平移，再橫向伸縮，再向上平移的順序進行．

解答：解：（I）由題意得，f(x)=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)，
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
（II）列表如下：

x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0

畫簡圖：

函數y=sinx的圖象向右平移

π

6

個單位，再保持縱坐標不變，把橫坐標縮短為原來的一半，
得到函數f(x)=sin(2x-

π

6

)的圖象．

點評：本題綜合考查了三角變換公式的運用，三角函數的圖象畫法：五點法和整體思想，三角函數圖象變換法則，屬于較綜合的題目．