Question

已知函數f（x）=

2

sin（x-

π

4

）-a，其中a為常數，且x=

π

2

是f（x）的一個零點．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，π]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由周期公式T=

2π

ω

（ω＞0）即可求得函數f（x）的最小正周期；
（2）依題意，可求得a的值，再利用正弦函數的性質即可求得當x∈[0，π]時，求函數f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

sin（x-

π

4

）-a，
∴其周期T=

2π

1

=2π，
∴函數f（x）的最小正周期為2π；
（2）∵x=

π

2

是f（x）的一個零點，
∴f（

π

2

）=

2

sin

π

4

-a=0，
∴a=1．
∴f（x）=

2

sin（x-

π

4

）-1．
∵x∈[0，π]，
∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴-

2

2

≤sin（x-

π

4

）≤1，
∴-2≤

2

sin（x-

π

4

）-1≤

2

-1，
即-2≤f（x）≤

2

-1．
∴當x∈[0，π]時，求函數f（x）的值域為[-2，

2

-1]．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查復合三角函數的單調性，求得a的值是關鍵，屬于中檔題．