Question

(19)在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M為AB的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角S—CM—A的大小;

(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面SCM的距離.

Answer 1

(19)本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力.

 

 

解法一：(Ⅰ)取AC中點(diǎn)D,連結(jié)DS、DB.

∵SA=SC,BA=BC,

∴AC⊥DS且AC⊥DB,

∴AC⊥平面SDB.

又SB平面SDB,

∴AC⊥SB.

(Ⅱ)∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,

∴SD⊥平面ABC.

過D作DE⊥CM于E,連結(jié)SE,

則SE⊥CM,

∴∠SED為二面角S—CM—A的平面角.

由已知有DEAM,所以DE=1,又SA=SC=2,AC=4,∴SD=2.

在Rt△SDE中,tanSED==2,

∴二面角S—CM—A的大小為arctan2.

(Ⅲ)在Rt△SDE中,SE==,CM是邊長為4的正△ABC的中線,

∴CM=2.

∴S_△SCM=CM·SE=×2×=.

設(shè)點(diǎn)B到平面SCM的距離為h,

由V_B—SCM=V_S—CMB,SD⊥平面ABC,得S_△SCM·h=S_△CMB·SD,

∴h==.

即點(diǎn)B到平面SCM的距離為.

解法二：(Ⅰ)取AC中點(diǎn)O,連結(jié)OS、OB.

∵SA=SC,BA=BC,

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,

平面SAC∩平面ABC=AC,

∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.

則A(2,0,0),C(－2,0,0),S(0,0,2),B(0,2,0).

∴ =(－4,0,0),=(0,－2,2).

∵·=(－4,0,0)·(0,－2,2)=0,

∴AC⊥BS.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得M(1,,0).