Question

設點P（m，n）在圓x²+y²=2上，l是過點P的圓的切線，切線l與函數y=x²+x+k（k∈R）的圖象交于A，B兩點，點O是坐標原點．
（1）當k=-2，m=-1，n=-1時，判斷△OAB的形狀；
（2）△OAB是以AB為底的等腰三角形；
①試求出P點縱坐標n滿足的等量關系；
②若將①中的等量關系右邊化為零，左邊關于n的代數式可表為（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，且滿足條件的等腰三角形有3個，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據k=-2，m=-1，n=-1，以及切線l：-x-y=2，分別得到一個等式，通過兩個等式聯立解方程組求出兩組解，此時即可表示出兩個點A，B的坐標，然后分別根據

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=2.垂直與腰相等兩個關系判斷出△OAB是等腰直角三角形
（2） ①寫出過P的切線，然后分別設出A，B兩個點的坐標．根據是已知題意列出3個等式，然后解出結果..通過P點縱坐標為n，代入P中求出n的等量關系．
    ②按照①的結果，通過把等量關系右邊化為零，左邊關于n的代數式表示為（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，化簡．然后根據滿足條件的等腰三角形有3個，分別判斷△＞0是否成立．經過計算分別求出K的取值范圍即可．

解答：解：①當k=-2，m=-1，n=-1，
   時y=x²+x-2．
  切線l：-x-y=2，即x+y+2=0．
  由

y=x2+x-2 x+y+2=0

，
  得x²+2x=0，
∴x₁=0，x₂=-2．
  A（0，-2），B（-2，0）．
∵

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=2.
∴△OAB是等腰直角三角形

②△OAB是以AB為底的等腰三角形?P是AB的中點．
過P點的切線：mx+ny=2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y1= x 2 1 +x1+k(1) y2= x 2 2 +x2+k(2) x1+x2=2m(3)

（2）-（1）
y₂-y₁=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+x₂-x₁

y2-y1

x2-x1

=(x2+x1)+1?-

m

n

=2m+1，
m=

-n

2n+1

.
∵m2+n2=2，∴(-

n

2n+1

)2+n2=2
4n⁴+4n³-6n²-8n-2=0
即2n⁴+2n³-3n²-4n-1=0．
由已知，2n⁴+2n³-3n²-4n-1
=（n+1）²（an²+bn+c）=（n²+2n+1）（an²+bn+c）
=an⁴+（b+2a）n³+（c+a+2b）n²+（2c+b）n+c
?

a=2 b+2a=2 c+a+2b=-3 b+2c=-4 c=-1

，
即∴

a=2 b=-2 c=-1

由2n⁴+2n³-3n²-4n-1=（n+1）²（2n²-2n-1）=0
∴n+1=0或2n²-2n-1=0，
n=-1或n=

1± 3

2

∴

m=-1 n=-1

或

m= - 3 +1 2 n= 1+ 3 2

或

m= 1+ 3 2 n= 1- 3 2

由

mx+ny=2 y=x2+x+k

得，
nx²+（m+n）x+nk-2=0
當

m=-1 n=-1

時，x2+2x+k+2=0.
△=4-4k-8＞0，k＜-1．
當

m= 1- 3 2 n= 1+ 3 2

時，

1+ 3

2

x2+x+

1+ 3

2

k-2=0
由△=1-4×

1+ 3

2

(

1+ 3

2

k-2)＞0?k＜

( 3 +7)( 3 -1)

4

當

m= 1+ 3 2 n= 1- 3 2

時，

1- 3

2

x2+x+

1- 3

2

k-2=0，
△=1-4×

1- 3

2

(

1- 3

2

k-2)＞0
(1-

3

)k＞

7- 3

2

，
k＜

7- 3

2(1- 3 )

=

(7- 3 )(1+ 3 )

-4

k＜-

4+6 3

4

=-1-

3 3

2

.
等腰三角形恰有3個等價于以上三個解都滿足△＞0，
故k∈(-∞，-1-

3 3

2

).

點評：本題考查直線與圓的關系的應用，通過直線與圓相切，對關系式進行分析．然后通過圓與曲線兩個交點再進行分析．通過一系列的運算最終求出結果．本題另外一個側重點就是對運算的考查與一元二次方程判別式的考查．本題為難題．