Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁、k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）設直線AB上一點M，滿足

BM

=λ

MA

，證明線段PM的中點在y軸上；
（2）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設直線PA、PB的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，確定P，M的坐標，即可證明線段PM的中點在y軸上；
（2）∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0，由此即可求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍．

解答：（1）證明：設直線PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），直線PB的方程為y-y₀=k₁（x-x₀）．
點P（x₀，y₀）和點A（x₁，y₁）的坐標是方程組

y-y0=k1(x-x0)…① y=ax2…②

的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0③（3分）
又過點P（x₀，y₀）和點B（x₂，y₂）的直線的斜率為k₂，同理可得x2=

k2

a

-x0．
由已知得，k₂=-λk₁，則x2=-

λ

a

k1-x0．　　④（4分）
設點M的坐標為（x_M，y_M），由

BM

=λ

MA

，則xM=

x2+λx1

1+λ

．
將③式和④式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．
∴線段PM的中點在y軸上．    （6分）
（2）解：因為點P（1，-1）在拋物線y=ax²上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x²．
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x²得y1=-(k1+1)2．
將λ=1代入④式得x₂=k₁-1，代入y=-x²得y2=-(k2-1)2．
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為A(-k1-1，-k12-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)．  （8分）
于是

AP

=(k1+2，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)，

AP

•

AB

=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)．
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0．
即2k₁（k₁+2）（2k₁+1）＜0    （10分）
解得k₁＜-2或-

1

2

＜k1＜0．   （12分）
又點A的縱坐標y₁滿足y1=-(k1+1)2，
故當k₁＜-2時，y₁＜-1；當-

1

2

＜k1＜0時，-1＜y1＜-

1

4

．
即y1∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)（13分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．