Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P（x，y）向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求點P的軌跡方程．

Answer 1

（1）將圓C配方得（x+1）²+（y-2）²=2．
由題意知直線在兩坐標軸上的截距不為零，設直線方程為x+y-a=0，
由

|-1+2-a|

2

=

2

，得|a-1|=2，即a=-1，或a=3．
∴直線方程為x+y+1=0，或x+y-3=0；…（6分）
（2）由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，
∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²．
∴2x-4y+3=0即為所求．…（12分）