Question

已知|x|≤3，|y|≤3，點P的坐標為（x，y）
（1）當x∈Z，y∈Z時，求點P在區域x²+y²≤9內的概率；
（1）當x∈R，y∈R時，求點P在區域x²+y²≤9內的概率．

Answer 1

分析：（1）先一一列舉出平面區域W={（x，y）|-3≤x≤3，-3≤y≤3，x∈Z，y∈Z}中的整點的個數，再看看在x²+y²≤9的有多少個點，最后利用概率公式計算即得．
（2）本題是一個幾何概型，試驗發生包含的事件對應的集合是Ω={（x，y）|-3≤x≤3，-3≤y≤3}，滿足條件的事件對應的集合是A={（x，y）|-3≤x≤3，-3≤y≤3，x²+y²≤9}，做出兩個集合對應的圖形的面積，根據幾何概型概率公式得到結果．

解答：解：（1）滿足x，y∈Z，且在正方形的內部（含邊界）的點有49個，滿足x，y∈Z，且x²+y²≤9的點有27個，
∴所求的概率P₁=

27

49

．
（2）點P所在的區域為正方形的內部（含邊界），
滿足x²+y²≤9的點的區域為以（0，0）為圓心，1為半徑的圓面（含邊界）．
∴所求的概率P₂=

π×32

62

=

π

4

．

點評：本題主要考查了古典概型和幾何概型，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=m÷n．如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．