Question

設(shè)曲線C_n：f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)處的切線與y軸交于點(diǎn)Q_n（0，y_n）．
（Ⅰ）求數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{y_n}的前n項(xiàng)和為S_n，猜測(cè)S_n的最大值并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式，只須求出切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率進(jìn)而求出切線方程最后得到與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)．從而問(wèn)題解決．
（II）根據(jù)所求數(shù)列的特點(diǎn)，采用錯(cuò)位相消法求出數(shù)列{y_n}的前n項(xiàng)和為S_n，再算出它的前幾項(xiàng)觀察此數(shù)列的最大值，最后對(duì)n進(jìn)行分類討論：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)．進(jìn)行證明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=（n+1）xⁿ（n∈N^*），（1分）
∴點(diǎn)P處的切線斜率，（2分）
∴切線方程為：，（3分）
令x=0得：，
故數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式為：．（4分）
（Ⅱ）①
兩邊同乘得：②
∴得：（6分）
∴
=
=
∴（8分）
其中，S₂=y₁+y₂=0，，
猜測(cè)S_n的最大值為S₂=0．證明如下：（10分）
（i）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；（11分）
（ii）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
設(shè)，則．
，
∴h（n+2）＜h（n）．（13分）
故的最大值為h（2）=1，即S_n的最大值為S₂=0．（14分）
解法2（Ⅱ）任意k∈N^*，都有y_2k-1＜0，y_2k＞0；
所以S_n的最大值就是S_2k的最大值．
令，顯然a₁=0，k＞1，a_k＜0，
所以S_2k=a₁+a₂++a_k的最大值是S₂=a₁=0．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、數(shù)列的求和、數(shù)列遞推式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．