Question

在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（I）求角B的大小；（II）若b=

7

，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據正弦定理用正弦表示出邊，然后代入到已知條件中，再由兩角和與差的公式整理可得到cosB的值，最后可得角B的值．
（2）根據余弦定理將b=

7

，a+c=4代入求出ac的值，再由三角形的面積公式可求得結果．

解答：解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a-c）cosB=bcosC整理得：
2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，
∵∠B是三角形的內角，∴B=60°．
（II）在△ABC中，由余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-2ac•cosB
將b=

7

，a+c=4代入整理得ac=3
故S△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

sin60°=

3 3

4

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，在求值時經常用到邊和角的相互轉化，這里一般是用正弦定理．