Question

(本題滿分16分)

已知函數(a為實常數).

(1)若，求證：函數在(1，+．∞)上是增函數；

(2)求函數在[1，e]上的最小值及相應的值；

(3)若存在，使得成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）當時，，當，，

故函數在上是增函數．…………………………………………………4分

（2），當，．

若，在上非負（僅當，x=1時，），故函數在上是增函數，此時．　………………………………………………6分

若，當時，；當時，，此時

是減函數； 當時，，此時是增函數．故

．

若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數在上是減函數，此時．……………………………………8分

綜上可知，當時，的最小值為1，相應的x值為1；當時，

的最小值為，相應的x值為；當時，的最小值為，

相應的x值為．……………………………………………………………………10分

（3）不等式，   可化為．

∵, ∴且等號不能同時取，所以，即，

因而（）………………………………………………12分

令（），又，…………………14分

當時，，，

從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數，

故的最小值為，所以a的取值范圍是． ………………………16分