Question

已知△ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

AB

•

AC

=6，向量

s

=(cosA，sinA)與向量

t

=(4，-3)相互垂直．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）若b+c=7，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量垂直的充要條件列出方程，結合三角函數的平方關系求出角A的正弦，余弦值；利用向量的數量積公式將已知向量等式用邊表示；利用三角形的面積公式求出面積．
（II）解關于邊b，c的方程組求出b，c；利用三角形的余弦定理求出邊a．

解答：解：（I）∵

s

⊥

t

∴4cosA-3sinA=0得tanA=

4

3

∵sin²A+cos²A=1
解得sinA=

4

5

，cosA=

3

5

又由

AB

•

AC

=6得bccosA=6
∴bc=10
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=4
（II）∵bc=10且b+c=7
∴b=5，c=2或b=2，c=5
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=17
∴a=

17

點評：本題考查向量垂直的充要條件、向量的數量積公式、三角函數的平方關系、三角形的面積公式、三角形的余弦定理．