Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓 及直線，當直線和橢圓有公共點時.
（1）求實數的取值范圍；
（2）求被橢圓截得的最長的弦所在的直線的方程.

Answer 1

(1)；  (2) y=x

試題分析：（1）直線與橢圓有公共點，說明它們的方程組成的方程組有解，因而它們的方程聯立消去y后得到關于x的一元二次方程的判別式大于或等于零，從而得到m的取值范圍.
(2)在（1）的基礎上利用弦長公式得到關于m的函數關系式，再利用函數的方法求最值即可，事實上應該是直線y=x+m過橢圓中心時弦長最長.
點評：（1）直線與橢圓的位置關系可利用它們組成的方程組的公共解的個數來判斷，當沒有公共解時，此時，直線與橢圓相離；當有一個公共點時，此時，直線與橢圓相切；當有兩個公共點時，此時，直線與橢圓相交.
（2）當相交涉及最值時一般要利用韋達定理及判別式建立關于參數的函數關系式，從函數的角度求最值.