Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，連接CE并延長交AD于F.

(1)求證：AD⊥平面CFG；

(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)在△ABD中，因為E是BD中點，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，

因為△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，從而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，

所以∠FED＝∠FEA.故EF⊥AD，AF＝FD，又因為PG＝GD，

所以FG∥PA，又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.

(2)以A為坐標原點建立如圖所示的坐標系，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝.

設平面BCP的法向量n1＝(x1，y1，z1)，

則

令y1＝－，則x1＝3，z1＝2，n1＝(3，－，2)．

設平面DCP的一個法向量n2＝(1，y2，z2)，則

解得即n2＝(1，，2)．

從而平面BCP與平面DCP的夾角θ的余弦值為

cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝